حل 2x^2+11x+15

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 15$$

عامل

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=2\times 15=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=5 b=6$$

2x^{2}+11x+15 را به‌عنوان \left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x+5 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 15}}{2\times 2}$$

-8 بار 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 2}$$

121 را به -120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-11±1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±1}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 1 اضافه کنید.

$$x=-\frac{10}{4}$$

کسر \frac{-10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±1}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{5}{2} را برای x_{1} و -3 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+3\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{2} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$2x^{2}+11x+15=2\times \frac{2x+5}{2}\left(x+3\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از2 در 2 و 2 کم کنید.

$$2x^{2}+11x+15=\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

ارزیابی

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$