حل 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

برای k حل کنید

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

7 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2k^{2}+ak+bk+7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 14 است فهرست کنید.

$$1,14 2,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+14=15 2+7=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 9 است.

$$a=2 b=7$$

2k^{2}+9k+7 را به‌عنوان \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

در گروه اول از 2k و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک k+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، k+1=0 و 2k+7=0 را حل کنید.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2k^{2}+9k=-7$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

تفریق -7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

-7 را از 0 تفریق کنید.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 9 را با b و 7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 را مجذور کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 بار 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

81 را به -56 اضافه کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

اکنون معادله k=\frac{-9±5}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 5 اضافه کنید.

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$k=-1$$

اکنون معادله k=\frac{-9±5}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از -9 تفریق کنید.

$$k=-\frac{14}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=-\frac{7}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2k^{2}+9k=-7$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

\frac{9}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{9}{4} شود. سپس مجذور \frac{9}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{2} را به \frac{81}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

عامل k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

ساده کنید.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{9}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$