حل 2(x+2)^2=5(3-x)

$$2 ( x + 2 ) ^ { 2 } = 5 ( 3 - x )$$

برای x حل کنید

$$x=-7$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x^{2}+4x+4 استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در 3-x استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

15 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

تفریق 15 را از 8 برای به دست آوردن -7 تفریق کنید.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

5x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

8x و 5x را برای به دست آوردن 13x ترکیب کنید.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=2\left(-7\right)=-14$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -14 است فهرست کنید.

$$-1,14 -2,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=-1 b=14$$

2x^{2}+13x-7 را به‌عنوان \left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-1\right)\left(x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-1=0 و x+7=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x^{2}+4x+4 استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در 3-x استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

15 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

تفریق 15 را از 8 برای به دست آوردن -7 تفریق کنید.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

5x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

8x و 5x را برای به دست آوردن 13x ترکیب کنید.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 13 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -7.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+56}}{2\times 2}$$

169 را به 56 اضافه کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-13±15}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-13±15}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±15}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -13 را به 15 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{4}$$

کسر \frac{2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±15}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از -13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{28}{4}$$

-28 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x^{2}+4x+4 استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در 3-x استفاده کنید.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

5x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+8x+8+5x=15$$

8x و 5x را برای به دست آوردن 13x ترکیب کنید.

$$2x^{2}+13x+8=15$$

8 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+13x=15-8$$

تفریق 8 را از 15 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$2x^{2}+13x=7$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{7}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{7}{2}$$

\frac{13}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{13}{4} شود. سپس مجذور \frac{13}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

\frac{13}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{7}{2}+\frac{169}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{7}{2} را به \frac{169}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{225}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{15}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{15}{4}$$

\frac{13}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$