حل 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 42 است فهرست کنید.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-7 b=-6$$

2x^{2}-13x+21 را به‌عنوان \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-7=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -13 را با b و 21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

-8 بار 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

169 را به -168 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

متضاد -13 عبارت است از 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{13±1}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 13 را به 1 اضافه کنید.

$$x=\frac{14}{4}$$

کسر \frac{14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{7}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{13±1}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 13 تفریق کنید.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-13x=-21$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

-\frac{13}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{4} شود. سپس مجذور -\frac{13}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

-\frac{13}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{21}{2} را به \frac{169}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

\frac{13}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$