حل 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-40 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -80 است فهرست کنید.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40 را به‌عنوان \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -11 را با b و -40 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

121 را به 320 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 441 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{11±21}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 21 اضافه کنید.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=8$$

اکنون معادله x=\frac{11±21}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 21 را از 11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{4}$$

کسر \frac{-10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

40 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

تفریق -40 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

-40 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-11x=40$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

-\frac{11}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{4} شود. سپس مجذور -\frac{11}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

20 را به \frac{121}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

\frac{11}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$