حل 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

30 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

تفریق 30 را از -6 برای به دست آوردن -36 تفریق کنید.

$$2x^{2}+x-36=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-36 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -72 است فهرست کنید.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-8 b=9$$

2x^{2}+x-36 را به‌عنوان \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و 2x+9=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+x-6=30$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

تفریق 30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

30 را از -6 تفریق کنید.

$$2x^{2}+x-36=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 1 را با b و -36 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

1 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

1 را به 288 اضافه کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-1±17}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -1 را به 17 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{4}$$

16 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{-1±17}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{4}$$

کسر \frac{-18}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{9}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+x-6=30$$

6 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

تفریق -6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

-6 را از 30 تفریق کنید.

$$2x^{2}+x=36$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

36 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{4} شود. سپس مجذور \frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

18 را به \frac{1}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

\frac{1}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$