حل 2x^2+9x+9=0

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 18 است فهرست کنید.

$$1,18 2,9 3,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 9 است.

$$a=3 b=6$$

2x^{2}+9x+9 را به‌عنوان \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x+3=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 9 را با b و 9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

-8 بار 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

81 را به -72 اضافه کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±3}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 3 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{4}$$

کسر \frac{-6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±3}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از -9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+9x=-9$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{9}{4} شود. سپس مجذور \frac{9}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{9}{2} را به \frac{81}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

\frac{9}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$