حل 2x^2+5x-817=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21.5$$

$$x=19$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-817 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -1634 است فهرست کنید.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-38 b=43$$

2x^{2}+5x-817 را به‌عنوان \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 43 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-19 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-19=0 و 2x+43=0 را حل کنید.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 5 را با b و -817 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

25 را به 6536 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 6561 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±81}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 81 اضافه کنید.

$$x=\frac{76}{4}$$

76 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=19$$

اکنون معادله x=\frac{-5±81}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 81 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{86}{4}$$

کسر \frac{-86}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{43}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

817 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

تفریق -817 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

-817 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+5x=817$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{4} شود. سپس مجذور \frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{817}{2} را به \frac{25}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

\frac{5}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$