حل 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

$$x=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-168 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -336 است فهرست کنید.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-16 b=21$$

2x^{2}+5x-168 را به‌عنوان \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 21 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و 2x+21=0 را حل کنید.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 5 را با b و -168 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

25 را به 1344 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 1369 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±37}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 37 اضافه کنید.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=8$$

اکنون معادله x=\frac{-5±37}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 37 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{42}{4}$$

کسر \frac{-42}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{21}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

168 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

تفریق -168 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

-168 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+5x=168$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

168 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{4} شود. سپس مجذور \frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

84 را به \frac{25}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

\frac{5}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$