حل 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-14 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -28 است فهرست کنید.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-4 b=7$$

2x^{2}+3x-14 را به‌عنوان \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 2x+7=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 3 را با b و -14 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

9 را به 112 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±11}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{4}$$

8 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{-3±11}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{14}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

14 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

تفریق -14 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

-14 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+3x=14$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

14 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{4} شود. سپس مجذور \frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

7 را به \frac{9}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{3}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$