حل 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

برای x حل کنید

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -48 است فهرست کنید.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=-3 b=16$$

2x^{2}+13x-24 را به‌عنوان \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 8 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و x+8=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 13 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

169 را به 192 اضافه کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±19}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -13 را به 19 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{4}$$

کسر \frac{6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±19}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از -13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{32}{4}$$

-32 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-8$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

24 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

تفریق -24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

-24 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+13x=24$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

\frac{13}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{13}{4} شود. سپس مجذور \frac{13}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

\frac{13}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

12 را به \frac{169}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

\frac{13}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$