حل 180=3x+x^2

$$180 = 3 x + x ^ { 2 }$$

برای x حل کنید

$$x=-15$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3x+x^{2}=180$$

180 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+x^{2}-180=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$x^{2}+3x-180=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+3x-180 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-12 b=15$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3x+x^{2}=180$$

180 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+x^{2}-180=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$x^{2}+3x-180=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-180 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-12 b=15$$

x^{2}+3x-180 را به‌عنوان \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3x+x^{2}=180$$

180 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+x^{2}-180=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+3x-180=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 3 را با b و -180 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 بار -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

9 را به 720 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

ریشه دوم 729 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±27}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 27 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{2}$$

24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=12$$

اکنون معادله x=\frac{-3±27}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 27 را از -3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=12 x=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3x+x^{2}=180$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+3x=180$$

3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{2} شود. سپس مجذور \frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

180 را به \frac{9}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

عامل x^{2}+3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=12 x=-15$$