حل 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 18x^{2}+ax+bx-5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -90 است فهرست کنید.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -9 است.

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5 را به‌عنوان \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

از 3x در 18x^{2}-15x فاکتور بگیرید.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 6x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 6x-5=0 و 3x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 18 را با a، -9 را با b و -5 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4 بار 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72 بار -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

81 را به 360 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

ریشه دوم 441 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

متضاد -9 عبارت است از 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2 بار 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

اکنون معادله x=\frac{9±21}{36} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 9 را به 21 اضافه کنید.

$$x=\frac{30}{36}$$

کسر \frac{30}{36} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{5}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{9±21}{36} وقتی که ± منفی است حل کنید. 21 را از 9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{36}$$

کسر \frac{-12}{36} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 12، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

5 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

تفریق -5 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

-5 را از 0 تفریق کنید.

$$18x^{2}-9x=5$$

هر دو طرف بر 18 تقسیم شوند.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

تقسیم بر 18، ضرب در 18 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

کسر \frac{-9}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 9، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

-\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{4} شود. سپس مجذور -\frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{18} را به \frac{1}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

\frac{1}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$