حل 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 15x^{2}+ax+bx+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 را به‌عنوان \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+1=0 و 5x+2=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 15 را با a، 11 را با b و 2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 بار 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 بار 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

121 را به -120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 بار 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±1}{30} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 1 اضافه کنید.

$$x=-\frac{10}{30}$$

کسر \frac{-10}{30} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±1}{30} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{30}$$

کسر \frac{-12}{30} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

تفریق 2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$15x^{2}+11x=-2$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

تقسیم بر 15، ضرب در 15 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

\frac{11}{15}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{11}{30} شود. سپس مجذور \frac{11}{30} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

\frac{11}{30} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{2}{15} را به \frac{121}{900} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

عامل x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

\frac{11}{30} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$