حل 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 15x^{2}+ax+bx-4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 4 است.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 را به‌عنوان \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-2=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 15 را با a، 4 را با b و -4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 بار 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 بار -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

16 را به 240 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

ریشه دوم 256 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 بار 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±16}{30} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 16 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{30}$$

کسر \frac{12}{30} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±16}{30} وقتی که ± منفی است حل کنید. 16 را از -4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{30}$$

کسر \frac{-20}{30} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

4 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

تفریق -4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

-4 را از 0 تفریق کنید.

$$15x^{2}+4x=4$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

تقسیم بر 15، ضرب در 15 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

\frac{4}{15}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{2}{15} شود. سپس مجذور \frac{2}{15} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

\frac{2}{15} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{4}{15} را به \frac{4}{225} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

عامل x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

\frac{2}{15} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$