حل 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 14x^{2}+ax+bx-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -28 است فهرست کنید.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-4 b=7$$

14x^{2}+3x-2 را به‌عنوان \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

از 2x در 14x^{2}-4x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 7x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 7x-2=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 14 را با a، 3 را با b و -2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-4 بار 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-56 بار -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

9 را به 112 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

2 بار 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±11}{28} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{28}$$

کسر \frac{8}{28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{7}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±11}{28} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{14}{28}$$

کسر \frac{-14}{28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 14، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

2 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

تفریق -2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

-2 را از 0 تفریق کنید.

$$14x^{2}+3x=2$$

هر دو طرف بر 14 تقسیم شوند.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

تقسیم بر 14، ضرب در 14 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

کسر \frac{2}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

\frac{3}{14}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{28} شود. سپس مجذور \frac{3}{28} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

\frac{3}{28} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{7} را به \frac{9}{784} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

عامل x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

\frac{3}{28} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$