حل 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 14x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -210 است فهرست کنید.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -29 است.

$$a=-35 b=6$$

14x^{2}-29x-15 را به‌عنوان \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-5=0 و 7x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 14 را با a، -29 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-29 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-4 بار 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-56 بار -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

841 را به 840 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

ریشه دوم 1681 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

متضاد -29 عبارت است از 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

2 بار 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

اکنون معادله x=\frac{29±41}{28} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 29 را به 41 اضافه کنید.

$$x=\frac{70}{28}$$

کسر \frac{70}{28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 14، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{5}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{29±41}{28} وقتی که ± منفی است حل کنید. 41 را از 29 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{28}$$

کسر \frac{-12}{28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$14x^{2}-29x=15$$

هر دو طرف بر 14 تقسیم شوند.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

تقسیم بر 14، ضرب در 14 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

-\frac{29}{14}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{29}{28} شود. سپس مجذور -\frac{29}{28} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

-\frac{29}{28} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{14} را به \frac{841}{784} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

عامل x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

\frac{29}{28} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$