حل 13x^2+40x-22400=0

$$13 { x }^{ 2 } +40x-22400=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{560}{13} = -43\frac{1}{13} \approx -43.076923077$$

$$x=40$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 13x^{2}+ax+bx-22400 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=40 ab=13\left(-22400\right)=-291200$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -291200 است فهرست کنید.

$$-1,291200 -2,145600 -4,72800 -5,58240 -7,41600 -8,36400 -10,29120 -13,22400 -14,20800 -16,18200 -20,14560 -25,11648 -26,11200 -28,10400 -32,9100 -35,8320 -40,7280 -50,5824 -52,5600 -56,5200 -64,4550 -65,4480 -70,4160 -80,3640 -91,3200 -100,2912 -104,2800 -112,2600 -128,2275 -130,2240 -140,2080 -160,1820 -175,1664 -182,1600 -200,1456 -208,1400 -224,1300 -260,1120 -280,1040 -320,910 -325,896 -350,832 -364,800 -400,728 -416,700 -448,650 -455,640 -520,560$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+291200=291199 -2+145600=145598 -4+72800=72796 -5+58240=58235 -7+41600=41593 -8+36400=36392 -10+29120=29110 -13+22400=22387 -14+20800=20786 -16+18200=18184 -20+14560=14540 -25+11648=11623 -26+11200=11174 -28+10400=10372 -32+9100=9068 -35+8320=8285 -40+7280=7240 -50+5824=5774 -52+5600=5548 -56+5200=5144 -64+4550=4486 -65+4480=4415 -70+4160=4090 -80+3640=3560 -91+3200=3109 -100+2912=2812 -104+2800=2696 -112+2600=2488 -128+2275=2147 -130+2240=2110 -140+2080=1940 -160+1820=1660 -175+1664=1489 -182+1600=1418 -200+1456=1256 -208+1400=1192 -224+1300=1076 -260+1120=860 -280+1040=760 -320+910=590 -325+896=571 -350+832=482 -364+800=436 -400+728=328 -416+700=284 -448+650=202 -455+640=185 -520+560=40$$

جواب زوجی است که مجموع آن 40 است.

$$a=-520 b=560$$

13x^{2}+40x-22400 را به‌عنوان \left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right) بازنویسی کنید.

$$\left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right)$$

در گروه اول از 13x و در گروه دوم از 560 فاکتور بگیرید.

$$13x\left(x-40\right)+560\left(x-40\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-40 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-40\right)\left(13x+560\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-40=0 و 13x+560=0 را حل کنید.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 13 را با a، 40 را با b و -22400 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

40 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

-4 بار 13.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-52\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

-52 بار -22400.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+1164800}}{2\times 13}$$

1600 را به 1164800 اضافه کنید.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1166400}}{2\times 13}$$

ریشه دوم 1166400 را به دست آورید.

$$x=\frac{-40±1080}{2\times 13}$$

2 بار 13.

$$x=\frac{-40±1080}{26}$$

اکنون معادله x=\frac{-40±1080}{26} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -40 را به 1080 اضافه کنید.

$$x=\frac{1040}{26}$$

1040 را بر 26 تقسیم کنید.

$$x=40$$

اکنون معادله x=\frac{-40±1080}{26} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1080 را از -40 تفریق کنید.

$$x=-\frac{1120}{26}$$

کسر \frac{-1120}{26} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{560}{13}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

22400 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$13x^{2}+40x-22400-\left(-22400\right)=-\left(-22400\right)$$

تفریق -22400 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$13x^{2}+40x=-\left(-22400\right)$$

-22400 را از 0 تفریق کنید.

$$13x^{2}+40x=22400$$

هر دو طرف بر 13 تقسیم شوند.

$$\frac{13x^{2}+40x}{13}=\frac{22400}{13}$$

تقسیم بر 13، ضرب در 13 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x=\frac{22400}{13}$$

\frac{40}{13}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{20}{13} شود. سپس مجذور \frac{20}{13} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{22400}{13}+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}$$

\frac{20}{13} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{22400}{13}+\frac{400}{169}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{22400}{13} را به \frac{400}{169} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{291600}{169}$$

عامل x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{291600}{169}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{291600}{169}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{20}{13}=\frac{540}{13} x+\frac{20}{13}=-\frac{540}{13}$$

\frac{20}{13} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$