حل 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-2300 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6900 است فهرست کنید.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

جواب زوجی است که مجموع آن 200 است.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 را به‌عنوان \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 230 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-10 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و 3x+230=0 را حل کنید.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 120 را با a، 8000 را با b و -92000 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 بار 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 بار -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

64000000 را به 44160000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

ریشه دوم 108160000 را به دست آورید.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 بار 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

اکنون معادله x=\frac{-8000±10400}{240} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8000 را به 10400 اضافه کنید.

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 را بر 240 تقسیم کنید.

$$x=10$$

اکنون معادله x=\frac{-8000±10400}{240} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10400 را از -8000 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

کسر \frac{-18400}{240} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 80، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{230}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

92000 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

تفریق -92000 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

-92000 را از 0 تفریق کنید.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

هر دو طرف بر 120 تقسیم شوند.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

تقسیم بر 120، ضرب در 120 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

کسر \frac{8000}{120} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 40، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

کسر \frac{92000}{120} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 40، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

\frac{200}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{100}{3} شود. سپس مجذور \frac{100}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2300}{3} را به \frac{10000}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

\frac{100}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$