حل 12x^2-30x-108rightarrow

$$12 x ^ { 2 } - 30 x - 108 \rightarrow$$

عامل

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

مراحل راه‌حل

6 را فاکتور بگیرید.

$$6\left(2x^{2}-5x-18\right)$$

2x^{2}-5x-18 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-18 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-9 b=4$$

2x^{2}-5x-18 را به‌عنوان \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$12x^{2}-30x-108=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

-30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-48\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

-48 بار -108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+5184}}{2\times 12}$$

900 را به 5184 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{6084}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 6084 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±78}{2\times 12}$$

متضاد -30 عبارت است از 30.

$$x=\frac{30±78}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$x=\frac{30±78}{24}$$

اکنون معادله x=\frac{30±78}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 30 را به 78 اضافه کنید.

$$x=\frac{108}{24}$$

کسر \frac{108}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 12، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{9}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{30±78}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 78 را از 30 تفریق کنید.

$$x=-\frac{48}{24}$$

-48 را بر 24 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{9}{2} را برای x_{1} و -2 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+2\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{9}{2} را از x تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$12x^{2}-30x-108=12\times \frac{2x-9}{2}\left(x+2\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از2 در 12 و 2 کم کنید.

$$12x^{2}-30x-108=6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

ارزیابی

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$