حل 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

برای r حل کنید

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 12r^{2}+ar+br-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 را به‌عنوان \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

در گروه اول از 4r و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3r-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3r-5=0 و 4r+3=0 را حل کنید.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 12 را با a، -11 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 بار -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121 را به 720 اضافه کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 841 را به دست آورید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

اکنون معادله r=\frac{11±29}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 29 اضافه کنید.

$$r=\frac{40}{24}$$

کسر \frac{40}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r=\frac{5}{3}$$

اکنون معادله r=\frac{11±29}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 29 را از 11 تفریق کنید.

$$r=-\frac{18}{24}$$

کسر \frac{-18}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r=-\frac{3}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$12r^{2}-11r=15$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

تقسیم بر 12، ضرب در 12 را لغو می‌کند.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

کسر \frac{15}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{12}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{24} شود. سپس مجذور -\frac{11}{24} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

-\frac{11}{24} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{4} را به \frac{121}{576} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

عامل r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

ساده کنید.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

\frac{11}{24} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$