حل 12q^2+23q+10

$$12 q ^ { 2 } + 23 q + 10$$

عامل

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 12q^{2}+aq+bq+10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 120 است فهرست کنید.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

جواب زوجی است که مجموع آن 23 است.

$$a=8 b=15$$

12q^{2}+23q+10 را به‌عنوان \left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right)$$

در گروه اول از 4q و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$4q\left(3q+2\right)+5\left(3q+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3q+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$12q^{2}+23q+10=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$q=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

23 را مجذور کنید.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

-48 بار 10.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

529 را به -480 اضافه کنید.

$$q=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$q=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$q=\frac{-23±7}{24}$$

اکنون معادله q=\frac{-23±7}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -23 را به 7 اضافه کنید.

$$q=-\frac{16}{24}$$

کسر \frac{-16}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$q=-\frac{2}{3}$$

اکنون معادله q=\frac{-23±7}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از -23 تفریق کنید.

$$q=-\frac{30}{24}$$

کسر \frac{-30}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$q=-\frac{5}{4}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{2}{3} را برای x_{1} و -\frac{5}{4} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{3} را به q اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{4} را به q اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\times \frac{4q+5}{4}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{3q+2}{3} را در \frac{4q+5}{4} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{3\times 4}$$

3 بار 4.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{12}$$

بزرگترین عامل مشترک را از12 در 12 و 12 کم کنید.

$$12q^{2}+23q+10=\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

ارزیابی

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$