حل 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

عامل

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

مراحل راه‌حل

3 را فاکتور بگیرید.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

4k^{2}+5k-9 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 4k^{2}+ak+bk-9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-4 b=9$$

4k^{2}+5k-9 را به‌عنوان \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

در گروه اول از 4k و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک k-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

15 را مجذور کنید.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

-48 بار -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

225 را به 1296 اضافه کنید.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 1521 را به دست آورید.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

اکنون معادله k=\frac{-15±39}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -15 را به 39 اضافه کنید.

$$k=\frac{24}{24}$$

24 را بر 24 تقسیم کنید.

$$k=1$$

اکنون معادله k=\frac{-15±39}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 39 را از -15 تفریق کنید.

$$k=-\frac{54}{24}$$

کسر \frac{-54}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=-\frac{9}{4}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. 1 را برای x_{1} و -\frac{9}{4} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{9}{4} را به k اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

بزرگترین عامل مشترک را از4 در 12 و 4 کم کنید.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

ارزیابی

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$