حل 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

برای n حل کنید

$$n=6$$

$$n=15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از اموال توزیعی برای ضرب 12 در n-4 استفاده کنید.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

تفریق 30 را از -48 برای به دست آوردن -78 تفریق کنید.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n و 9n را برای به دست آوردن 21n ترکیب کنید.

$$21n-78-n^{2}=12$$

12 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

تفریق 12 را از -78 برای به دست آوردن -90 تفریق کنید.

$$21n-90-n^{2}=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -n^{2}+an+bn-90 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 90 است فهرست کنید.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

جواب زوجی است که مجموع آن 21 است.

$$a=15 b=6$$

-n^{2}+21n-90 را به‌عنوان \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

در گروه اول از -n و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-15 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-15=0 و -n+6=0 را حل کنید.

$$n=15 n=6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از اموال توزیعی برای ضرب 12 در n-4 استفاده کنید.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

تفریق 30 را از -48 برای به دست آوردن -78 تفریق کنید.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n و 9n را برای به دست آوردن 21n ترکیب کنید.

$$21n-78-n^{2}=12$$

12 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

تفریق 12 را از -78 برای به دست آوردن -90 تفریق کنید.

$$21n-90-n^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 21 را با b و -90 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

21 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

441 را به -360 اضافه کنید.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 81 را به دست آورید.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

اکنون معادله n=\frac{-21±9}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -21 را به 9 اضافه کنید.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-12 را بر -2 تقسیم کنید.

$$n=6$$

اکنون معادله n=\frac{-21±9}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 9 را از -21 تفریق کنید.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-30 را بر -2 تقسیم کنید.

$$n=15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=6 n=15$$

مراحل برای تکمیل مربع

از اموال توزیعی برای ضرب 12 در n-4 استفاده کنید.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

تفریق 30 را از -48 برای به دست آوردن -78 تفریق کنید.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n و 9n را برای به دست آوردن 21n ترکیب کنید.

$$21n-78-n^{2}=12$$

78 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$21n-n^{2}=12+78$$

12 و 78 را برای دریافت 90 اضافه کنید.

$$21n-n^{2}=90$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-n^{2}+21n=90$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

21 را بر -1 تقسیم کنید.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

90 را بر -1 تقسیم کنید.

$$n^{2}-21n=-90$$

-21، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{21}{2} شود. سپس مجذور -\frac{21}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

-\frac{21}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

-90 را به \frac{441}{4} اضافه کنید.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

عامل n^{2}-21n+\frac{441}{4}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

\frac{21}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=15 n=6$$