حل 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

برای y حل کنید

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

3y^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$11y-3y^{2}=-4$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3y^{2}+ay+by+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=12 b=-1$$

-3y^{2}+11y+4 را به‌عنوان \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

از 3y در -3y^{2}+12y فاکتور بگیرید.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -y+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -y+4=0 و 3y+1=0 را حل کنید.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

3y^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$11y-3y^{2}=-4$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، 11 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

11 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

121 را به 48 اضافه کنید.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

اکنون معادله y=\frac{-11±13}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 13 اضافه کنید.

$$y=\frac{2}{-6}$$

کسر \frac{2}{-6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله y=\frac{-11±13}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -11 تفریق کنید.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-24 را بر -6 تقسیم کنید.

$$y=4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

مراحل برای تکمیل مربع

3y^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$11y-3y^{2}=-4$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

11 را بر -3 تقسیم کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-4 را بر -3 تقسیم کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{11}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{6} شود. سپس مجذور -\frac{11}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{4}{3} را به \frac{121}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

عامل y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{11}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$