حل 10x+15=8x^2+24x+78

$$10x+15 = 8 { x }^{ 2 } +24x+78$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}\approx -0.875-2.666341126i$$

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}\approx -0.875+2.666341126i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

8x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+15-8x^{2}=24x+78$$

24x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+15-8x^{2}-24x=78$$

10x و -24x را برای به دست آوردن -14x ترکیب کنید.

$$-14x+15-8x^{2}=78$$

78 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-14x+15-8x^{2}-78=0$$

تفریق 78 را از 15 برای به دست آوردن -63 تفریق کنید.

$$-14x-63-8x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-8x^{2}-14x-63=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -8 را با a، -14 را با b و -63 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-8\right)\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

-14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-8\right)\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

-4 بار -8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+32\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

32 بار -63.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2016}}{2\left(-8\right)}$$

196 را به -2016 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-1820}}{2\left(-8\right)}$$

ریشه دوم -1820 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{455}i}{2\left(-8\right)}$$

متضاد -14 عبارت است از 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{2\left(-8\right)}$$

2 بار -8.

$$x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16}$$

اکنون معادله x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 14 را به 2i\sqrt{455} اضافه کنید.

$$x=\frac{14+2\sqrt{455}i}{-16}$$

14+2i\sqrt{455} را بر -16 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{455} را از 14 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{455}i+14}{-16}$$

14-2i\sqrt{455} را بر -16 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8} x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}$$

مراحل برای تکمیل مربع

8x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+15-8x^{2}=24x+78$$

24x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+15-8x^{2}-24x=78$$

10x و -24x را برای به دست آوردن -14x ترکیب کنید.

$$-14x+15-8x^{2}=78$$

15 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-14x-8x^{2}=78-15$$

تفریق 15 را از 78 برای به دست آوردن 63 تفریق کنید.

$$-14x-8x^{2}=63$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-8x^{2}-14x=63$$

هر دو طرف بر -8 تقسیم شوند.

$$\frac{-8x^{2}-14x}{-8}=\frac{63}{-8}$$

تقسیم بر -8، ضرب در -8 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-8}\right)x=\frac{63}{-8}$$

کسر \frac{-14}{-8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{63}{-8}$$

63 را بر -8 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{63}{8}$$

\frac{7}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{8} شود. سپس مجذور \frac{7}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{63}{8}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

\frac{7}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{63}{8}+\frac{49}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{63}{8} را به \frac{49}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{455}{64}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{455}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{455}{64}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{455}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{455}i}{8}$$

\frac{7}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8} x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}$$