حل 1034=x^2+30x-110

$$1034 = x ^ { 2 } + 30 x - 110$$

برای x حل کنید

$$x=-52$$

$$x=22$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

1034 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

تفریق 1034 را از -110 برای به دست آوردن -1144 تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+30x-1144 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=30 ab=-1144$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -1144 است فهرست کنید.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

جواب زوجی است که مجموع آن 30 است.

$$a=-22 b=52$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-22=0 و x+52=0 را حل کنید.

$$x=22 x=-52$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

1034 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

تفریق 1034 را از -110 برای به دست آوردن -1144 تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-1144 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=30 ab=1\left(-1144\right)=-1144$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -1144 است فهرست کنید.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

جواب زوجی است که مجموع آن 30 است.

$$a=-22 b=52$$

x^{2}+30x-1144 را به‌عنوان \left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 52 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-22\right)+52\left(x-22\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-22 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-22=0 و x+52=0 را حل کنید.

$$x=22 x=-52$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

1034 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

تفریق 1034 را از -110 برای به دست آوردن -1144 تفریق کنید.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 30 را با b و -1144 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-1144\right)}}{2}$$

30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-1144\right)}}{2}$$

-4 بار -1144.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+4576}}{2}$$

900 را به 4576 اضافه کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{5476}}{2}$$

ریشه دوم 5476 را به دست آورید.

$$x=\frac{-30±74}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-30±74}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -30 را به 74 اضافه کنید.

$$x=\frac{44}{2}$$

44 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=22$$

اکنون معادله x=\frac{-30±74}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 74 را از -30 تفریق کنید.

$$x=-\frac{104}{2}$$

-104 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-52$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=22 x=-52$$

مراحل برای تکمیل مربع

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

110 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+30x=1034+110$$

1034 و 110 را برای دریافت 1144 اضافه کنید.

$$x^{2}+30x=1144$$

30، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 15 شود. سپس مجذور 15 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+30x+15^{2}=1144+15^{2}$$

15 را مجذور کنید.

$$x^{2}+30x+225=1144+225$$

1144 را به 225 اضافه کنید.

$$x^{2}+30x+225=1369$$

عامل x^{2}+30x+225. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+15\right)^{2}=1369$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{1369}$$

ساده کنید.

$$x+15=37 x+15=-37$$

15 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=22 x=-52$$