حل 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 1000x^{2}+ax+bx-561 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -561000 است فهرست کنید.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -590 است.

$$a=-1100 b=510$$

1000x^{2}-590x-561 را به‌عنوان \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) بازنویسی کنید.

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

در گروه اول از 100x و در گروه دوم از 51 فاکتور بگیرید.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 10x-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 10x-11=0 و 100x+51=0 را حل کنید.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1000 را با a، -590 را با b و -561 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-590 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4 بار 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4000 بار -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

348100 را به 2244000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

ریشه دوم 2592100 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

متضاد -590 عبارت است از 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

2 بار 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

اکنون معادله x=\frac{590±1610}{2000} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 590 را به 1610 اضافه کنید.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

کسر \frac{2200}{2000} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 200، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{11}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{590±1610}{2000} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1610 را از 590 تفریق کنید.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

کسر \frac{-1020}{2000} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 20، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{51}{100}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

561 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

تفریق -561 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

-561 را از 0 تفریق کنید.

$$1000x^{2}-590x=561$$

هر دو طرف بر 1000 تقسیم شوند.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

تقسیم بر 1000، ضرب در 1000 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

کسر \frac{-590}{1000} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

-\frac{59}{100}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{59}{200} شود. سپس مجذور -\frac{59}{200} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

-\frac{59}{200} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{561}{1000} را به \frac{3481}{40000} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

عامل x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

\frac{59}{200} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$