حل 10y-y^2=24

$$10 y - y ^ { 2 } = 24$$

برای y حل کنید

$$y=4$$

$$y=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

24 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y-y^{2}-24=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-y^{2}+10y-24=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -y^{2}+ay+by-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 24 است فهرست کنید.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

جواب زوجی است که مجموع آن 10 است.

$$a=6 b=4$$

-y^{2}+10y-24 را به‌عنوان \left(-y^{2}+6y\right)+\left(4y-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-y^{2}+6y\right)+\left(4y-24\right)$$

در گروه اول از -y و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$-y\left(y-6\right)+4\left(y-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-6\right)\left(-y+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-6=0 و -y+4=0 را حل کنید.

$$y=6 y=4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-y^{2}+10y=24$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-y^{2}+10y-24=24-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-y^{2}+10y-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 10 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

10 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -24.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-1\right)}$$

100 را به -96 اضافه کنید.

$$y=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$y=\frac{-10±2}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$y=\frac{-10±2}{-2}$$

اکنون معادله y=\frac{-10±2}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -10 را به 2 اضافه کنید.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

-8 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=4$$

اکنون معادله y=\frac{-10±2}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از -10 تفریق کنید.

$$y=-\frac{12}{-2}$$

-12 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=4 y=6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-y^{2}+10y=24$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=\frac{24}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=\frac{24}{-1}$$

10 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-10y=\frac{24}{-1}$$

24 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-10y=-24$$

-10، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -5 شود. سپس مجذور -5 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

-5 را مجذور کنید.

$$y^{2}-10y+25=-24+25$$

-24 را به 25 اضافه کنید.

$$y^{2}-10y+25=1$$

عامل y^{2}-10y+25. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-5\right)^{2}=1$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

ساده کنید.

$$y-5=1 y-5=-1$$

5 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=6 y=4$$