حل 10x^2-31x+24=0

$$10 x ^ { 2 } - 31 x + 24 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 10x^{2}+ax+bx+24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-31 ab=10\times 24=240$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 240 است فهرست کنید.

$$-1,-240 -2,-120 -3,-80 -4,-60 -5,-48 -6,-40 -8,-30 -10,-24 -12,-20 -15,-16$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-240=-241 -2-120=-122 -3-80=-83 -4-60=-64 -5-48=-53 -6-40=-46 -8-30=-38 -10-24=-34 -12-20=-32 -15-16=-31$$

جواب زوجی است که مجموع آن -31 است.

$$a=-16 b=-15$$

10x^{2}-31x+24 را به‌عنوان \left(10x^{2}-16x\right)+\left(-15x+24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(10x^{2}-16x\right)+\left(-15x+24\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(5x-8\right)-3\left(5x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-8\right)\left(2x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-8=0 و 2x-3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$10x^{2}-31x+24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 10 را با a، -31 را با b و 24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 24}}{2\times 10}$$

-31 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 24}}{2\times 10}$$

-4 بار 10.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 24}}{2\times 10}$$

-40 بار 24.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-960}}{2\times 10}$$

961 را به -960 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±1}{2\times 10}$$

متضاد -31 عبارت است از 31.

$$x=\frac{31±1}{2\times 10}$$

2 بار 10.

$$x=\frac{31±1}{20}$$

اکنون معادله x=\frac{31±1}{20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 31 را به 1 اضافه کنید.

$$x=\frac{32}{20}$$

کسر \frac{32}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{8}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{31±1}{20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 31 تفریق کنید.

$$x=\frac{30}{20}$$

کسر \frac{30}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$10x^{2}-31x+24=0$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$10x^{2}-31x+24-24=-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$10x^{2}-31x=-24$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$\frac{10x^{2}-31x}{10}=-\frac{24}{10}$$

تقسیم بر 10، ضرب در 10 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{24}{10}$$

کسر \frac{-24}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{12}{5}$$

-\frac{31}{10}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{31}{20} شود. سپس مجذور -\frac{31}{20} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}=-\frac{12}{5}+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}$$

-\frac{31}{20} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=-\frac{12}{5}+\frac{961}{400}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{12}{5} را به \frac{961}{400} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=\frac{1}{400}$$

عامل x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}=\frac{1}{400}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{400}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{31}{20}=\frac{1}{20} x-\frac{31}{20}=-\frac{1}{20}$$

\frac{31}{20} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$