حل 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 10x^{2}+ax+bx-12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -120 است فهرست کنید.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-8 b=15$$

10x^{2}+7x-12 را به‌عنوان \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-4=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 10 را با a، 7 را با b و -12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-4 بار 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-40 بار -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

49 را به 480 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

ریشه دوم 529 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

2 بار 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±23}{20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 23 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{20}$$

کسر \frac{16}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±23}{20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 23 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{20}$$

کسر \frac{-30}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

12 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

تفریق -12 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

-12 را از 0 تفریق کنید.

$$10x^{2}+7x=12$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

تقسیم بر 10، ضرب در 10 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

کسر \frac{12}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

\frac{7}{10}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{20} شود. سپس مجذور \frac{7}{20} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

\frac{7}{20} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{6}{5} را به \frac{49}{400} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

\frac{7}{20} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$