حل 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

برای k حل کنید

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 10k^{2}+ak+bk-1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -10 است فهرست کنید.

$$-1,10 -2,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 9 است.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 را به‌عنوان \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

از k در 10k^{2}-k فاکتور بگیرید.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 10k-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 10k-1=0 و k+1=0 را حل کنید.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 10 را با a، 9 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 را مجذور کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 بار 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 بار -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

81 را به 40 اضافه کنید.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 بار 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

اکنون معادله k=\frac{-9±11}{20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 11 اضافه کنید.

$$k=\frac{2}{20}$$

کسر \frac{2}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=\frac{1}{10}$$

اکنون معادله k=\frac{-9±11}{20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -9 تفریق کنید.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 را بر 20 تقسیم کنید.

$$k=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$10k^{2}+9k=1$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

تقسیم بر 10، ضرب در 10 را لغو می‌کند.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

\frac{9}{10}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{9}{20} شود. سپس مجذور \frac{9}{20} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

\frac{9}{20} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{10} را به \frac{81}{400} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

عامل k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

ساده کنید.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

\frac{9}{20} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$