حل 10x^2-7x-3=0

$$10 { x }^{ 2 } -7x-3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{10}=-0.3$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 10x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=10\left(-3\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-10 b=3$$

10x^{2}-7x-3 را به‌عنوان \left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right)$$

در گروه اول از 10x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$10x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(10x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 10x+3=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 10 را با a، -7 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-4 بار 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-40 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 10}$$

49 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 10}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 10}$$

2 بار 10.

$$x=\frac{7±13}{20}$$

اکنون معادله x=\frac{7±13}{20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{20}$$

20 را بر 20 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{7±13}{20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{20}$$

کسر \frac{-6}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{10}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$10x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$10x^{2}-7x=3$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$\frac{10x^{2}-7x}{10}=\frac{3}{10}$$

تقسیم بر 10، ضرب در 10 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}$$

-\frac{7}{10}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{20} شود. سپس مجذور -\frac{7}{20} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

-\frac{7}{20} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{3}{10}+\frac{49}{400}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{10} را به \frac{49}{400} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{169}{400}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{169}{400}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{400}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} x-\frac{7}{20}=-\frac{13}{20}$$

\frac{7}{20} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$