حل 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7.348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7.348469228i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

10 را به توان 2 محاسبه کنید و 100 را به دست آورید.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

8 را به توان 2 محاسبه کنید و 64 را به دست آورید.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(12-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

برای پیدا کردن متضاد 144-24x+x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

تفریق 144 را از 64 برای به دست آوردن -80 تفریق کنید.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

-80 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

متضاد -80 عبارت است از 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

24x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

100 و 80 را برای دریافت 180 اضافه کنید.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -24 را با b و 180 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

-24 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

-8 بار 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

576 را به -1440 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

ریشه دوم -864 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

متضاد -24 عبارت است از 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 24 را به 12i\sqrt{6} اضافه کنید.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

24+12i\sqrt{6} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

اکنون معادله x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 12i\sqrt{6} را از 24 تفریق کنید.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

24-12i\sqrt{6} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

مراحل برای تکمیل مربع

10 را به توان 2 محاسبه کنید و 100 را به دست آورید.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

8 را به توان 2 محاسبه کنید و 64 را به دست آورید.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(12-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

برای پیدا کردن متضاد 144-24x+x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

تفریق 144 را از 64 برای به دست آوردن -80 تفریق کنید.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

24x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

100 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

تفریق 100 را از -80 برای به دست آوردن -180 تفریق کنید.

$$2x^{2}-24x=-180$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

-24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

-180 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-12x=-90$$

-12، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -6 شود. سپس مجذور -6 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

-6 را مجذور کنید.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

-90 را به 36 اضافه کنید.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

عامل x^{2}-12x+36. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

ساده کنید.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

6 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$