حل 1+x+x^2=0

$$1 + x + x ^ { 2 } = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 1 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

1 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

1 را به -4 اضافه کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

ریشه دوم -3 را به دست آورید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -1 را به i\sqrt{3} اضافه کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{3} را از -1 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+x=-1$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

-1 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

عامل x^{2}+x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$