حل 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$4x^{2}-x-3=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-4 b=3$$

4x^{2}-x-3 را به‌عنوان \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 4x+3=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$4x^{2}-x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -1 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

1 را به 48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{1±7}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{1±7}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{8}$$

کسر \frac{-6}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$4x^{2}-x-3=0$$

3 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$4x^{2}-x=3$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

-\frac{1}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{8} شود. سپس مجذور -\frac{1}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

-\frac{1}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{4} را به \frac{1}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

\frac{1}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$