حل -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

برای a حل کنید

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -4a^{2}+aa+ba+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -4 است فهرست کنید.

$$1,-4 2,-2$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-4=-3 2-2=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=1 b=-4$$

-4a^{2}-3a+1 را به‌عنوان \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

در گروه اول از -a و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4a-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4a-1=0 و -a-1=0 را حل کنید.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -4 را با a، -3 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-3 را مجذور کنید.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 بار -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

9 را به 16 اضافه کنید.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

2 بار -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

اکنون معادله a=\frac{3±5}{-8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به 5 اضافه کنید.

$$a=\frac{8}{-8}$$

8 را بر -8 تقسیم کنید.

$$a=-1$$

اکنون معادله a=\frac{3±5}{-8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از 3 تفریق کنید.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

کسر \frac{-2}{-8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$a=\frac{1}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

تقسیم بر -4، ضرب در -4 را لغو می‌کند.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

-3 را بر -4 تقسیم کنید.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

-1 را بر -4 تقسیم کنید.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

\frac{3}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{8} شود. سپس مجذور \frac{3}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

\frac{3}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{4} را به \frac{9}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

عامل a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

ساده کنید.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

\frac{3}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$