حل -2x^2+5x+3=0

$$-2 { x }^{ 2 } +5x+3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=3$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -2x^{2}+ax+bx+3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=-2\times 3=-6$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6 است فهرست کنید.

$$-1,6 -2,3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=6 b=-1$$

-2x^{2}+5x+3 را به‌عنوان \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-x+3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-x+3\right)$$

از 2x در -2x^{2}+6x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(-x+3\right)-x+3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+3\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+3=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-2x^{2}+5x+3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -2 را با a، 5 را با b و 3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 3}}{2\left(-2\right)}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 3}}{2\left(-2\right)}$$

-4 بار -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 3}}{2\left(-2\right)}$$

8 بار 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\left(-2\right)}$$

25 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±7}{2\left(-2\right)}$$

2 بار -2.

$$x=\frac{-5±7}{-4}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±7}{-4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{-4}$$

کسر \frac{2}{-4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±7}{-4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

-12 را بر -4 تقسیم کنید.

$$x=3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{2} x=3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-2x^{2}+5x+3=0$$

3 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-2x^{2}+5x+3-3=-3$$

تفریق 3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-2x^{2}+5x=-3$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{3}{-2}$$

تقسیم بر -2، ضرب در -2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{3}{-2}$$

5 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{-2}$$

-3 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{4} شود. سپس مجذور -\frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{2} را به \frac{25}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

\frac{5}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$