حل -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-3$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx+15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -15 است فهرست کنید.

$$-1,15 -3,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 2 است.

$$a=5 b=-3$$

-x^{2}+2x+15 را به‌عنوان \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و -x-3=0 را حل کنید.

$$x=5 x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 2 را با b و 15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

4 را به 60 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 64 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±8}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 8 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

اکنون معادله x=\frac{-2±8}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8 را از -2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-10 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=5$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-3 x=5$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

15 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

تفریق 15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-x^{2}+2x=-15$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

2 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

-15 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-2x=15$$

-2، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -1 شود. سپس مجذور -1 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

15 را به 1 اضافه کنید.

$$x^{2}-2x+1=16$$

عامل x^{2}-2x+1. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

ساده کنید.

$$x-1=4 x-1=-4$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=-3$$