حل -4x^2+5x+6=0

$$- 4 x ^ { 2 } + 5 x + 6 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -4x^{2}+ax+bx+6 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=-4\times 6=-24$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -24 است فهرست کنید.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=8 b=-3$$

-4x^{2}+5x+6 را به‌عنوان \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-3x+6\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-3x+6\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+2=0 و 4x+3=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{3}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-4x^{2}+5x+6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -4 را با a، 5 را با b و 6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-4\right)\times 6}}{2\left(-4\right)}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-4\right)\times 6}}{2\left(-4\right)}$$

-4 بار -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+16\times 6}}{2\left(-4\right)}$$

16 بار 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-4\right)}$$

25 را به 96 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-4\right)}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-4\right)}$$

2 بار -4.

$$x=\frac{-5±11}{-8}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±11}{-8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{-8}$$

کسر \frac{6}{-8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±11}{-8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{-8}$$

-16 را بر -8 تقسیم کنید.

$$x=2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{4} x=2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-4x^{2}+5x+6=0$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-4x^{2}+5x+6-6=-6$$

تفریق 6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-4x^{2}+5x=-6$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$\frac{-4x^{2}+5x}{-4}=-\frac{6}{-4}$$

تقسیم بر -4، ضرب در -4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{-4}x=-\frac{6}{-4}$$

5 را بر -4 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{6}{-4}$$

کسر \frac{-6}{-4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{8} شود. سپس مجذور -\frac{5}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{3}{2}+\frac{25}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{2} را به \frac{25}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{121}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{11}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{11}{8}$$

\frac{5}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=2 x=-\frac{3}{4}$$