حل -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-7$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx+28 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -28 است فهرست کنید.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=4 b=-7$$

-x^{2}-3x+28 را به‌عنوان \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+4=0 و x+7=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-7$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، -9 را با b و 84 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

-9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

81 را به 1008 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 1089 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

متضاد -9 عبارت است از 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{9±33}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 9 را به 33 اضافه کنید.

$$x=\frac{42}{-6}$$

42 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=-7$$

اکنون معادله x=\frac{9±33}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 33 را از 9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

-24 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-7 x=4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

84 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

تفریق 84 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

-9 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

-84 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=28$$

3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{2} شود. سپس مجذور \frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 را به \frac{9}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

عامل x^{2}+3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=4 x=-7$$