حل -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=4$$

$$x=13$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx-52 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 52 است فهرست کنید.

$$1,52 2,26 4,13$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

جواب زوجی است که مجموع آن 17 است.

$$a=13 b=4$$

-x^{2}+17x-52 را به‌عنوان \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-13 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-13=0 و -x+4=0 را حل کنید.

$$x=13 x=4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، 51 را با b و -156 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

51 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

2601 را به -1872 اضافه کنید.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 729 را به دست آورید.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{-51±27}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -51 را به 27 اضافه کنید.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

-24 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{-51±27}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 27 را از -51 تفریق کنید.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

-78 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=13$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=13$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

156 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

تفریق -156 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

-156 را از 0 تفریق کنید.

$$-3x^{2}+51x=156$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

51 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

156 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-17x=-52$$

-17، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{17}{2} شود. سپس مجذور -\frac{17}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

-\frac{17}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

-52 را به \frac{289}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

عامل x^{2}-17x+\frac{289}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

\frac{17}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=13 x=4$$