حل -3b^2+8b+11=0

$$- 3 b ^ { 2 } + 8 b + 11 = 0$$

برای b حل کنید

$$b=-1$$

$$b = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3b^{2}+ab+bb+11 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=8 ab=-3\times 11=-33$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -33 است فهرست کنید.

$$-1,33 -3,11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

جواب زوجی است که مجموع آن 8 است.

$$a=11 b=-3$$

-3b^{2}+8b+11 را به‌عنوان \left(-3b^{2}+11b\right)+\left(-3b+11\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3b^{2}+11b\right)+\left(-3b+11\right)$$

در گروه اول از -b و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$-b\left(3b-11\right)-\left(3b-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3b-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(3b-11\right)\left(-b-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3b-11=0 و -b-1=0 را حل کنید.

$$b=\frac{11}{3} b=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3b^{2}+8b+11=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، 8 را با b و 11 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$b=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)\times 11}}{2\left(-3\right)}$$

8 را مجذور کنید.

$$b=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 11}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$b=\frac{-8±\sqrt{64+12\times 11}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار 11.

$$b=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\left(-3\right)}$$

64 را به 132 اضافه کنید.

$$b=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$b=\frac{-8±14}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$b=\frac{-8±14}{-6}$$

اکنون معادله b=\frac{-8±14}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8 را به 14 اضافه کنید.

$$b=\frac{6}{-6}$$

6 را بر -6 تقسیم کنید.

$$b=-1$$

اکنون معادله b=\frac{-8±14}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از -8 تفریق کنید.

$$b=-\frac{22}{-6}$$

کسر \frac{-22}{-6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$b=\frac{11}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$b=-1 b=\frac{11}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-3b^{2}+8b+11=0$$

11 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-3b^{2}+8b+11-11=-11$$

تفریق 11 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-3b^{2}+8b=-11$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3b^{2}+8b}{-3}=-\frac{11}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$b^{2}+\frac{8}{-3}b=-\frac{11}{-3}$$

8 را بر -3 تقسیم کنید.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=-\frac{11}{-3}$$

-11 را بر -3 تقسیم کنید.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{11}{3}$$

-\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{4}{3} شود. سپس مجذور -\frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{11}{3} را به \frac{16}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

عامل b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ساده کنید.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{7}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{4}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$b=\frac{11}{3} b=-1$$