حل -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -2x^{2}+ax+bx+24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -48 است فهرست کنید.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=16 b=-3$$

-2x^{2}+13x+24 را به‌عنوان \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+8 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+8=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -2 را با a، 13 را با b و 24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

-4 بار -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

8 بار 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

169 را به 192 اضافه کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

2 بار -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±19}{-4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -13 را به 19 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{-4}$$

کسر \frac{6}{-4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±19}{-4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از -13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

-32 را بر -4 تقسیم کنید.

$$x=8$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

تقسیم بر -2، ضرب در -2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

13 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

-24 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

-\frac{13}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{4} شود. سپس مجذور -\frac{13}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

-\frac{13}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

12 را به \frac{169}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

\frac{13}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$