حل -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

عامل

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

مراحل راه‌حل

4 را فاکتور بگیرید.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

-4t^{2}+24t-27 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت -4t^{2}+at+bt-27 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 108 است فهرست کنید.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

جواب زوجی است که مجموع آن 24 است.

$$a=18 b=6$$

-4t^{2}+24t-27 را به‌عنوان \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

در گروه اول از -2t و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2t-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

96 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 بار -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 بار -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

9216 را به -6912 اضافه کنید.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

ریشه دوم 2304 را به دست آورید.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

2 بار -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

اکنون معادله t=\frac{-96±48}{-32} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -96 را به 48 اضافه کنید.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

کسر \frac{-48}{-32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 16، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله t=\frac{-96±48}{-32} وقتی که ± منفی است حل کنید. 48 را از -96 تفریق کنید.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

کسر \frac{-144}{-32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 16، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t=\frac{9}{2}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{3}{2} را برای x_{1} و \frac{9}{2} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{3}{2} را از t تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{9}{2} را از t تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{-2t+3}{-2} را در \frac{-2t+9}{-2} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

-2 بار -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

بزرگترین عامل مشترک را از4 در -16 و 4 کم کنید.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

ارزیابی

$$-16t^{2}+96t-108$$