حل -y^2+55y-750=0

$$- { y }^{ 2 } +55y-750=0$$

برای y حل کنید

$$y=25$$

$$y=30$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -y^{2}+ay+by-750 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=55 ab=-\left(-750\right)=750$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 750 است فهرست کنید.

$$1,750 2,375 3,250 5,150 6,125 10,75 15,50 25,30$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+750=751 2+375=377 3+250=253 5+150=155 6+125=131 10+75=85 15+50=65 25+30=55$$

جواب زوجی است که مجموع آن 55 است.

$$a=30 b=25$$

-y^{2}+55y-750 را به‌عنوان \left(-y^{2}+30y\right)+\left(25y-750\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-y^{2}+30y\right)+\left(25y-750\right)$$

در گروه اول از -y و در گروه دوم از 25 فاکتور بگیرید.

$$-y\left(y-30\right)+25\left(y-30\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-30 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-30\right)\left(-y+25\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-30=0 و -y+25=0 را حل کنید.

$$y=30 y=25$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-y^{2}+55y-750=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 55 را با b و -750 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-55±\sqrt{55^{2}-4\left(-1\right)\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

55 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025-4\left(-1\right)\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025+4\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -750.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025-3000}}{2\left(-1\right)}$$

3025 را به -3000 اضافه کنید.

$$y=\frac{-55±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$y=\frac{-55±5}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$y=\frac{-55±5}{-2}$$

اکنون معادله y=\frac{-55±5}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -55 را به 5 اضافه کنید.

$$y=-\frac{50}{-2}$$

-50 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=25$$

اکنون معادله y=\frac{-55±5}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از -55 تفریق کنید.

$$y=-\frac{60}{-2}$$

-60 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=30$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=25 y=30$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-y^{2}+55y-750=0$$

750 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-y^{2}+55y-750-\left(-750\right)=-\left(-750\right)$$

تفریق -750 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-y^{2}+55y=-\left(-750\right)$$

-750 را از 0 تفریق کنید.

$$-y^{2}+55y=750$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-y^{2}+55y}{-1}=\frac{750}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\frac{55}{-1}y=\frac{750}{-1}$$

55 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-55y=\frac{750}{-1}$$

750 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-55y=-750$$

-55، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{55}{2} شود. سپس مجذور -\frac{55}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-55y+\left(-\frac{55}{2}\right)^{2}=-750+\left(-\frac{55}{2}\right)^{2}$$

-\frac{55}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-55y+\frac{3025}{4}=-750+\frac{3025}{4}$$

-750 را به \frac{3025}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}-55y+\frac{3025}{4}=\frac{25}{4}$$

عامل y^{2}-55y+\frac{3025}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{55}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{55}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{55}{2}=\frac{5}{2} y-\frac{55}{2}=-\frac{5}{2}$$

\frac{55}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=30 y=25$$