حل -x^2+7x-10=0

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=2$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx-10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 10 است فهرست کنید.

$$1,10 2,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+10=11 2+5=7$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=5 b=2$$

-x^{2}+7x-10 را به‌عنوان \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و -x+2=0 را حل کنید.

$$x=5 x=2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 7 را با b و -10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

49 را به -40 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±3}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 3 اضافه کنید.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{-7±3}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-10 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=5$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=5$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

10 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

تفریق -10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

-10 را از 0 تفریق کنید.

$$-x^{2}+7x=10$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

7 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

10 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-7x=-10$$

-7، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{2} شود. سپس مجذور -\frac{7}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

-\frac{7}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

-10 را به \frac{49}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

عامل x^{2}-7x+\frac{49}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{7}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=2$$