حل (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3.464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3.464101615i$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(x-2\right)^{3} استفاده کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

64 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

تفریق 64 را از -8 برای به دست آوردن -72 تفریق کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -72 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=6$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-6x^{2}+12x-72 را بر x-6 برای به دست آوردن x^{2}+12 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+12=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 0 را با b، و 12 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

معادله x^{2}+12=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

برای x حل کنید

$$x=6$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(x-2\right)^{3} استفاده کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

64 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

تفریق 64 را از -8 برای به دست آوردن -72 تفریق کنید.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -72 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=6$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-6x^{2}+12x-72 را بر x-6 برای به دست آوردن x^{2}+12 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+12=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 0 را با b، و 12 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$x\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=6$$