حل (x-1)^3=54/2

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = \frac { 54 } { 2 }$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-2.598076211i$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(x-1\right)^{3} استفاده کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

54 را بر 2 برای به دست آوردن 27 تقسیم کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

27 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

تفریق 27 را از -1 برای به دست آوردن -28 تفریق کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -28 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-3x^{2}+3x-28 را بر x-4 برای به دست آوردن x^{2}+x+7 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+x+7=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 1 را با b، و 7 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

معادله x^{2}+x+7=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

برای x حل کنید

$$x=4$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(x-1\right)^{3} استفاده کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

54 را بر 2 برای به دست آوردن 27 تقسیم کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

27 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

تفریق 27 را از -1 برای به دست آوردن -28 تفریق کنید.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -28 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-3x^{2}+3x-28 را بر x-4 برای به دست آوردن x^{2}+x+7 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+x+7=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 1 را با b، و 7 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$x\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=4$$