حل (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

برای x حل کنید

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

4x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x و 4x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=3 b=-1$$

-3x^{2}+2x+1 را به‌عنوان \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

از 3x در -3x^{2}+3x فاکتور بگیرید.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+1=0 و 3x+1=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

4x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x و 4x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، 2 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

4 را به 12 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 16 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±4}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 4 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{-6}$$

کسر \frac{2}{-6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±4}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4 را از -2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

4x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x و 4x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

2 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

-1 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

-\frac{2}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{3} شود. سپس مجذور -\frac{1}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{3} را به \frac{1}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$